Was ist eine Norm (Allgemeine Normdefinition)?
Die Norm ist in der Mathematik ein Mittel um die “Größe” verschiedener Objekte zu bemessen. Einige Beispiele sind Ihnen vermutlich schon bekannt, wie z.B. der Betrag einer Zahl, der Länge eines Vektors. Man kann jedoch z.B. auch Matrizen Normen zuordnen. In der Numerik ist die Norm ein grundlegender Begriff.
Beispiel aus der Numerik:
In der Numerik ist die Norm wichtig um z.B. die Konditionierung eines Problems zu bestimmen. Dies ist ein Begriff, der in einem separaten Artikel erklärt wird und für die Bemessung und den Vergleich von unvermeidlichen, problem-bedingten Fehlern wichtig ist.
Normen sind also Abbildungen die einem Objekt eine Zahl zuordnen. Eine Norm ist zunächst recht abstrakt. Sie muss nur folgende 3 Bedingungen erfüllen:
- $ \norm{v} \ge 0 \quad \forall v \in V $
- $
\forall a \in \mathbb{K}, v \in V
\text{gilt}
\norm{av} = \lvert a \rvert \cdot \norm{v}
$ - $
\forall v,w \in V
\text{gilt die Dreicksungleichung:}
\norm{v+w} \le \norm{v} + \norm{w}
$
Hinweis: aus der Dreiecksungleichung folgt direkt
$ \lvert \norm{v} – \norm{w} \rvert \le \norm{v-w} $
Definitionen wichtiger Normen
- Unendlichkeitsnorm:
Die Unendlichkeitsnorm wird auch Maximumsnorm genannt, da der Wert der Norm immer dem betragsmäßig größtem Element eines Vektors oder dem betragsmäßig größten Wert einer Funktion in einem Intervall entsprechen.
$
\norm{x}_\infty
:= \underset{i=1,…,n}{\text{max}} \lvert x_i \rvert
\: ,x \in \mathbb{K}^n
$$
\norm{f}_\infty
:= \norm{f}_{L_\infty (I)}
:= \underset{t \in I}{\text{max}} \lvert f(t) \rvert
\: , f \in C(I)
$ - p-Norm:
Im Spezialfall $p=1$ entspricht die p-Norm der Einsnorm auch Summennorm genannt, bei der die Beträge der Vektoreinträge addiert werden.
Im Spezialfall $p=2$ entspricht die p-Norm der euklidischen Norm, bei der die Vektoreinträge geometrisch addiert werden.$
\norm{x}_p :=
\left( \sum^{n}_{i=1} \lvert x_i \rvert \right)^{\frac{1}{p}}
\: ,x \in \mathbb{K}^n
$$
\norm{f}_p
:= \norm{f}_{L_\infty (I)}
:= \left( \int_I \lvert f(t) \rvert^p \,dt \right)^{\frac{1}{p}}
\: , f \in C(I)
$
Normen von Matrizen ausrechnen
Für uns spielen hier 3 Normen eine Rolle. Die Einsnorm (auch Spaltensummennorm), die Zweinorm (auch Spektralnorm) und die Unendlichnorm (auch Zeilensummennorm).
Die Einsnorm (Spaltensummennorm) $ \norm{A}_1 $
Rechne die Beträge der Spaltenelemente zusammen. Die Norm ist dann das Maximum der Spalten.
Die Zweinorm (Spektralnorm) $ \norm{A}_2 $
Berechne die Eigenwerte der Matrix. Die Norm ist dann die Wurzel des Betrags des betragsmäßig größten Eigenwertes.
Im Artikel lineare Algebra wird erklärt wie man diese Eigenwerte entsprechend berechnet.
Die Unendlichnorm (Zeilensummennorm) $ \norm{A}_\infty $
Rechne die Beträge der Zeilenelemente zusammen. Die Norm ist dann das Maximum der Zeilen.
Wozu unterschiedliche Normen?
Für qualitative Aussagen ist es zumeist unerheblich welche Norm verwenndet wird.
Bei verschiedenen Anwendungsfällen kann es jedoch wichtig sein, welche Norm verwendet wird. Die verschiedenen Normen priorisieren unterschiedliche Effekte.
Die $ \norm{\cdot}_p $ priorisiert Mittelungseffekte (je kleiner p, desto stärker).
Die $ \norm{\cdot}_\infty $ priorisiert Genauigkeit bei allen Elementen.
Äquivalenz von Normen
In endlich-dimensionalen Vektorräumen gilt für den Vektor $v$, den paarweise verschiedenen Normen $*,**$, $c,C \in \mathbb{R}$:
$$
c\norm{v}_* \le \norm{v}_{**} \le C\norm{v}_*
$$
In Worten: In endlich-dimensionalen Vektorräumen sind alle Normen äquivalent.